[ Pobierz całość w formacie PDF ]
całej krzywej
i = xi.
Równanie na we współrzędnych xi na krzywą w M jest więc ostatecznie drugiego rzędu:
i = -i j k
jk
W ramach ćwiczeń znajdziemy geodezyjną dla koneksji z poprzedniego zadania zaczynającą się
w punkcie (0, 0) i w kierunku "1. Rachunki wpiszę do notatek kiedy indziej...
Torsja koneksji. Na wiązce stycznej wprowadzić można, oprócz krzywizny koneksji, jeszcze
jedną wielkość, która tę krzywiznę charakteryzuje torsję. W języku pochodnej kowariantnej
torsję definiujemy jako
T (X, Y ) = "XY - "Y X - [X, Y ],
3
gdzie X i Y są polami wektorowymi na M. Z samej definicji widać, że T (X, Y ) = -T (Y, X).
Policzmy T (fX, Y ):
T (fX, Y ) = "fXY - "Y fX - [fX, Y ] =
f"XY - f"Y X - Y (f)X - f[X, Y ] + Y (f)X =
f"XY - "Y X - [X, Y ] = fT (X, Y )
Z powyższego rachunku wynika, że torsja zależy jedynie od wartości pól w punkcie a nie od
pochodnych tych pól. Z definicji wynika ponadto, że torsja jest odwzorowaniem liniowym ze
względu na oba argumenty. Ostatecznie T jest cięciem wiązki tensorowej T"M "M T"M "M
TM ! M. Wyznaczymy współczynnki T :
j k
"Y = Xi"iY + j XiY "j
X ik
i i
"X = Y "iXj + j Y Xk "j
Y ik
j i
[X, Y ] = Xi"iY - Y "iXj "j
j k i i j i
T (X, Y ) = Xi"iY + j XiY "j - Y "iXj + j Y Xk "j - Xi"iY - Y "iXj "j =
ik ik
k
= (j - j )XiY "j
ik ki
Kto wymyśli geometryczną interpretację torsji w języku dystrybucji horyzontalnej? Beztorsyj-
ność jest opisana w którymś z przyszłych wykładów.
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]